基本再生数和群体免疫阈值

看了一些有关covid19的推送，有的涉及到群体免疫是否有效的相关问题，他们指出存在一个理论上的阈值，当具有免疫力的人数比例超过这个阈值时，就可以实现群体免疫，而这个阈值又和基本再生数$R_0$有一些联系。于是突然很感兴趣这个比例到底是怎么计算出来的。下面就是查资料获得的详情，主要参考了这个Wikipedia。

基本再生数$R_0$给出每个病患平均让多少人被感染。假设没有人对这种疾病免疫，那么当$R_0 > 1$时，疾病患病人数将呈指数增长，此时我们说疾病处于失控的状态。当$R_0 < 1$时则疾病将会收敛到一定的人群并停止继续感染，此时我们说疾病得到了控制。

而当人群中有$p$比例的人具有了对这个疾病的免疫力时，我们应当假设在每个病患感染的$R_0$人中，同样有$p$比例的人对这种病免疫，因此只有$R_0(1-p)$人真正患病，我们定义这个数字为$R_e$，即有效再生数。

当人群中免疫的比例逐渐增大时，有效再生数随之逐渐减小，直到这个数字小于1时，疾病同样会收敛并不再继续感染更大范围的人群，此时就实现了“群体免疫”所期待的效果，因此我们可以列出方程：

$R_0(1-p)<1$

解得

$p>1-\frac 1 {R_0}$

这就是我们想要计算的群体免疫阈值。使用举例：covid19的基本再生数若估计为2.5，则需要的免疫比例就是60%，如果估计为4，则需要的比例就是75%。

一些有用的英文翻译：
基本再生数$R_0$, Basic reproduction number
有效再生数$R_e$, Effective reproduction number
群体免疫, herd immunity
群体免疫阈值, herd immunity threshold