命题:若序列 $\{x_n\}$ 无极限,则 $\exists \varepsilon > 0, \forall a \in R, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, |x_n - a| > \varepsilon$。
证明:
情况1:集合 $\{x_n\}$ 无界。
这代表它没有上界或没有下界,不妨假设它没有上界。我们取$\varepsilon = 1$。
$\forall a \in \mathbb{R}$,要证明 $\forall N \in \mathbb{N}, \exists n