某个数学命题的证明

命题：若序列 $\{x_n\}$ 无极限，则 $\exists \varepsilon > 0, \forall a \in R, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, |x_n - a| > \varepsilon$。

证明：
情况1：集合 $\{x_n\}$ 无界。
这代表它没有上界或没有下界，不妨假设它没有上界。我们取$\varepsilon = 1$。
$\forall a \in \mathbb{R}$，要证明 $\forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, |x_n - a| > \varepsilon$。这等价于证明，满足 $|x_n - a| > \varepsilon$ 的n有无限多个。
因为 $\{x_n\}$ 没有上界，所以 $\forall a \in \mathbb{R}, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, x_n > a$。也就是有无限多个n满足$x_n > a$
那么$\forall a \in \mathbb{R}$，我们可以找到无限多个n，满足$ x_n > a + \varepsilon = a + 1$。这就证明了情况1下，$\exists \varepsilon > 0, \forall a \in R, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, |x_n - a| > \varepsilon$。

情况2：集合 $\{x_n\}$ 有界。
根据聚点原理，集合 $\{x_n\}$ 是一个R的有界无穷子集，它至少有一个聚点。
情况2.1：集合 $\{x_n\}$ 恰有一个聚点。
设这个聚点为a。我们即将证明在这种情况下序列 $\{x_n\}$ 必定收敛到a，这样就会与题设矛盾。
这等价于证明，任何a的$\varepsilon$邻域外都只有有限个序列中的数。我们取$\forall \varepsilon > 0$，构造集合 $A = \{x_n\} \backslash U(a, \varepsilon)$ 。
集合A中如果有无限个数，则我们可以找到A的一个聚点，这也是集合 $\{x_n\}$ 的聚点，而且这个聚点肯定不等于a。这与我们的假设恰有一个聚点矛盾。所以集合A中只能有有限个数，也就是a的$\varepsilon$邻域外只有有限个序列中的数，于是证明了序列收敛到a，与题设矛盾。
情况2.2：集合 $\{x_n\}$ 有两个或以上的聚点。
找到两个不同的聚点x, y，假设x<y。
那么任意a，总存在一个聚点离a距离在$\frac{y-x}2$及以外，我们设它是c（a或b中的一个肯定有机会成为c）。我们取$\varepsilon_0=\frac{y-x}4$，则对任意a，设$A=\mathbb{R}\backslash U(a, \varepsilon_0)$，则$U(c, \varepsilon_0) \subseteq A$，故A肯定有无限个元素，故$\forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, |x_n - a| > \varepsilon$。符合题意。

综上所述，命题成立。