乐律与数学

音乐与数学课程中一个我认为十分有趣的理论。
为什么一个八度被分为12音？

答：因为我们想要在八度(2:1)的分割中取出若干份来近似好听的纯五度(3:2)。那么一个八度里面有多少纯五度呢？应该就是这个数：
$\log_2\frac{2}{3}$
如果这是个有理数$p/q$那就好了，我们可以把一个八度分成$q$份然后让$p$份是一个纯五度。可惜这并不是一个有理数。因此我们做不到同时划分完美的纯五度和纯八度。

那么，我们要退而求其次找一个近似的划分，能让纯五度更像是纯五度。即，我们想找到一个有理数和上面这个对数尽量接近。
这是用有理数逼近无理数的问题，已经有解了，最优的方法是用连分数逼近，我们只展示结果：

序列里面出现了$\frac 7 {12}$，也就是分成12份，然后让7份近似是一个纯五度，是一个比较好的近似方案。
从下面一行逼近的比值（逼近效果）大概可以发现$3/5$和$7/12$已经是很好的逼近了。
音类数量不能太少（显得单调）或者太多（显得太复杂冗长，而且难以听出什么区别）。因此历史选择了12个半音。
按照课本上的介绍，还真的有人拿这个理论做过53个半音的键盘。

协和音程还有别的，但可能因为纯五是最好听的吧，就选择了迁就纯五的划分方式。大三(5:4)和大六(5:3)好像也行，不过这三个的连分数逼近的分母都没有重叠的，只好委屈它们了。